函数图象平移与伸缩的通解
对于函数图象的平移与伸缩问题，传统的处置手法过于冗杂，记忆量大，难于学会.本文试图用代换的手法将它作一般性的探讨.
1、函数图象的平移
事实上，设函数
的图象，向右平移
个单位，得到的图象的分析式是
,令点
是的图象上任一点，点向右平移个单位得点
，则点在的图象上，且
，有
，于是，把函数的图象，向右平移个单位，得到的图象的分析式是
（即以
代换）.
大家概念：当
时，表示向右平移；当
时，表示向左平移.
例1 函数
是偶函数，则函数
的对称轴是
A．
B. C. 
D.
解：函数是偶函数，∴其对称轴为，以代换，有
，
令
，解得
，故函数的图象向左平移
个单位，得到函数的图象，其对称轴也相应地向左平移了个单位，故选D.
例2 要得到函数
的图象，仅需将函数
的图象
A. 向左平移
个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移
个单位 D.向右平移个单位
解：∵
，而在中，以代换，有
.令
，解得.故选A.
办法2、
.在
中，以代换，
有
，令，解得.故选A.
同样地，把函数的图象，向右平移个单位，再向上平移
个单位，得到的图象的分析式是
（即以，
分别代换，
）.
同样，大家概念：当
时，表示向上平移；当时，表示向下平移.
例3 函数
的图象，经过什么样的平移变换得到函数
的图象？
解：在中，以，分别代换，，有
.
即，经对比，有，解得.故把函数的图象，向左平移
个单位，再向上平移3个单位，便得函数的图象.
2、函数图象的伸缩与平移
事实上，设把函数的图象的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象的分析式是,
令点是的图象上任一点，点的横坐标伸长到原来的倍，得点，则点在的图象上，且
，有
，
于是，设把函数的图象的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象的分析式是
（即以
代换）.
大家概念：当时，表示伸长；当
时，表示缩短.
例4 函数的图象，经过什么样的平移和伸缩变换得到函数
的图象？
解：（先平移后伸缩）在中，以，分别代换，，有
，再以代换，有
，即.对比有，
得
.即把函数的图象向左平移个单位，再向上平移4个单位，后将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得函数的图象.
办法2、（先伸缩后平移）在中，以代换，有
，再以，分别代换，，得
，即于是，
得，∴
.即把函数的图象横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移
个单位，后向上平移4个单位，可得函数的图象.
把函数的图象的横坐标与纵坐标分别伸长到原来的倍，得到的图象的分析式是（即分别以，代换）.
大家概念：当
时，表示伸长；当时，表示缩短.
例5 已知函数，将的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象.
（I）求的分析式及概念域； （II）求的最大值.
解：（I）依题意，在中，以
（即）代换，得，即
，再以代换，得.故得…….下略.
例6 函数的图象，经过什么样的变换得到函数的图象？
解：（先伸缩后平移）在中，分别以，代换，有，再以代换，得，即，令，得.故把函数的图象，横坐标伸长到原来的5倍（纵坐标不变），再将纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），后向右平移个单位，即得函数的图象.
（本题也可“先平移后伸缩”行变换）
